양자역학의 수학 공식화

양자역학의 수학적 공식화(영어: Mathematical formulation of quantum mechanics)는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간중 하나인 L2 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로,^[1] 20세기 이전에 개발된 물리학의 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다.

여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더 이상 위상 공간상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.

전개

편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.

계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 의 1차원 부분공간 $V\subset {\mathcal {H}}$ 으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 $|\psi \rangle \in V$ (정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 상태 벡터(state vector)라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합류 작용소이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 $\rho$ 로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.
관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반(self-adjoint) 선형 연산자 $A\colon \operatorname {dom} (A)\to \operatorname {dom} (A)$ 로 나타낸다. 여기서 $\operatorname {dom} (A)$ ( $A$ 의 정의역)는 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 의 조밀 선형 부분공간이다.
계 $|\psi \rangle$ 와 관측가능량 $A$ 가 주어지면, 그 기댓값은 $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ 이다. 대신 밀도 연산자 $\rho$ 로는 $\langle A\rangle =\operatorname {Tr} (\rho A)$ 이다.
계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 $H$ 가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.